Geometria di moduli di fibrati vettoriali su curve e di varieta\' speciali

Sia C una curva liscia e irriducibile di genere g, definita sul campo complesso. Il corso si
propone di presentare alcuni dei principali spazi di moduli di fibrati vettoriali su C dal punto
di vista della geometria delle loro immersioni proiettive. Ciò porterà a mettere in evidenza
diverse varietà con caratteristiche speciali, che sono esempi di tali spazi di moduli o di luoghi
di Brill-Noether in essi contenuti. Valga per tutti, come esempio rappresentativo, la classica
ipersuperficie quartica di Coble nello spazio proiettivo P^6, che è il modello proiettivo dello
spazio dei moduli SU_C(2, O_C) dei fibrati vettoriali semistabili, di rango due e determinante
triviale, su una curva C non iperellittica di genere tre. Il corso è rivolto ai fibrati vettoriali su C
di rango rge 2 e utilizzerà le nozioni principali, che saranno richiamate, riguardanti i fibrati di
rango uno su C e la varietà di Picard di C. Una particolare attenzione sarà rivolta al divisore
theta generalizzato, generatore del gruppo di Picard di SU_C(r, O_C), che governa le
realizzazioni proiettive di tale spazio di moduli e la ricca geometria proiettiva ad esso
collegata. Il corso, insieme all'analisi degli spazi di moduli in questione, intende rivisitare
aspetti, sia classici che moderni, di tale geometria che collegano la teoria delle curve ad altri
notevoli argomenti.

Geometry and Mechanics

The goal of these lessons is to show the relashionships between Continuum Physics and Differential Geometry, starting from the fundamentals of Mechanics. In particular, we show how any typical theory of mathematical-physics is based on two layers: the physical layer – the phenomenon under investigation, and the mathematical model used to represent the physics. We shall discuss in detail some model problems, starting from the theoretical point of view, up to some noteworthy solutions; for each model, we shall show the dual role, mathematical and physical, of the notions that are used. Model problems will be selected together with the students, and chosen among:  
· Active Soft Matter;
· Liquid Crystals;
· Solid - Fluid interactions.
 
Synopsis
- A continuum body as a differentiable manifold.
- Geometric elements; change of densities.-
- Geometric meaning of Divergence and Gradient
- Tell the difference between tensors: strain tensor versus stress tensor.
- Pull back & push forward of scalar, vector and tensor fields.
- Principle of virtual power:  the notion of force as a power gauge.
- Power versus Energy.
- Dissipation principle.
- Frame invariance.
 

ISTITUZIONI DI ANALISI (CORSO CONGIUNTO CON SAPIENZA E TOR VERGATA)

Module n.....
title: Stability and instability for nonlinear Schrödinger equations on tori

This module is part of the course "Istituzioni di Analisi per il Dottorato", organized jointly with
the PhD programs in Mathematics of the Universities of Roma Sapienza e Tor Vergata.

Nonlinear partial differential equations are effectively used to model waves since they manage
to describe their complexity and attempt to give a mathematically rigorous justification of
phenomena such as turbulence or the formation of solitary or recursive waves.
We will focus on the nonlinear Schrödinger equation (NLS) on the torus, which is a
paradigmatic example.
In the first part of the course, we will discuss the basic tools to study nonlinear Hamiltonian
systems in infinite dimension (with special attention to PDEs on compact manifolds).
Then, we will study the Cauchy problem for the NLS on the torus, and discuss almost global
existence, recursive solutions and weakly turbulent solutions (namely, solutions exhibiting a
large growth of Sobolev norms).

ISTITUZIONI DI DIDATTICA, LOGICA E STORIA DELLA MATEMATICA ( CORSO CONGIUNTO CON SAPIENZA E TOR VERGATA)

Modulo 1. Didattica:

- algoritmo di euclide in aritmetica (massimo comun divisore) e nella teoria dei numeri
(frazioni continue)
- proporzioni ad elementi interi: i risultati del libro VII
- potenze e proporzioni continue
- incommensurabili.

Modulo 2. Logica:

- Soddisfacibilità e dimostrabilità. Il teorema fondamentale dell'analisi canonica.
- Gentzen e l'eliminazione del taglio
- Dimostrazioni e programmi: la corrispondenza di Curry-Howard
- Introduzione alla Logica Lineare.

Modulo 3. Storia:

- Lagrange
- Il teorema di Ruffini Abel
- Il lavoro di Abel sulle equazioni e sulle funzioni ellittiche
- Il contributo di Galois
- Le soluzioni analitiche delle equazioni di quinto grado
- La teoria di Galois-Klein

Metodi tropicali in teoria dei moduli e geometria algebrica

L'obiettivo del corso è l'applicazione delle recenti tecniche di geometria tropicale allo studio di
spazi di moduli di vara natura, e ad una selezione di alcuni problemi in geometria algebrica.
Nel corso verranno anche introdotte le nozioni principali della teoria dei moduli classica.

 

Varieta\' Abeliane: geometria e aritmetica

L'obiettivo del corso é lo studio delle proprieta' geometriche e aritmetiche delle varieta'
abeliane. In particolare ci si concentrerà sullo studio delle varietà abeliane come tori
complessi, degli schemi in gruppi, e di aspetti aritmetici delle varieta' abeliane come le altezze
canoniche ed il teorema di Mordell-Weil.

Geometry of Enriques Surfaces

General information for the course
First meeting. The first meeting will be in October.
Contact. Email: luca.schaffler at uniroma3 dot it
Level. PhD course.
Credits. 3.
Description. Historically, Enriques surfaces were the first example of non rational algebraic surfaces with geometric genus and irregularity equal to zero. Enriques surfaces form a 10 dimensional family, and they constitute a fundamental slice of the Enriques–Kodaira classification of algebraic surfaces. The objective of this course is to study the geometry of these objects, gradually leading to modern active research. In particular, we will focus on the study of elliptic fibrations and the non-degeneracy invariant, which is related to the realization of Enriques surfaces in projective space. Finally, we will consider Enriques surfaces from the point of view of moduli and compactifications, especially from the point of view of stable pairs and the minimal model program.
We will focus on the fundamental tools of this theory, concrete examples, and computations.
Meetings. One or two meetings per week on Monday and Thursday according to the schedule below. The class time is always from 16:00 to 18:00.
 We will meet in TBD.
Streaming. The course will be streamed. If you are interested in attending online, please email me at the above email address.
Type of examination. Attendance, participation, one written Homework, and a seminar (or a written report) on a related topic.
Prerequisites. An introduction to algebraic geometry, including schemes and sheaves.
Bibliographical references
François Cossec, Igor Dolgachev, Christian Liedtke. Enriques surfaces, I.
Igor Dolgachev, Shigeyuki Kondo. Enriques surfaces, II.