Corsi

Cosa sono le Forze?

La nozione di forza è onnipresente nella fisica e la parola "forza" è usata di continuo nella vita di tutti i giorni. Nonostante questo, la nozione di forza è anche una delle più insidiose e profonde della fisica.

L'obiettivo di questo corso è andare oltre la conoscenza standard, utile per "fare i conti", che la maggior parte di noi ha delle forze, e presentare l'essenza di questa nozione fondamentale. Le forze rappresentano uno dei maggiori successi della fisica-matematica, ossia, la traduzione delle osservazioni e dei risultati ottenuti dalla meccanica sperimentale in un modello matematico in grado di descrivere fenomeni meccanici.

Possiamo dire che la fisica teorica nasce con i Principi di Newton, pubblicato nel 1687; all'incirca nello stesso periodo, inizia lo sviluppo della analisi matematica. In questo corso, vedremo i passi cruciali che hanno portato allo sviluppo del modello matematico usato per descrivere le forze, e presenteremo il moderno punto di vista per il modello di forza.

Programma sintetico
- Cinematica versus dinamica.
- Le forze come misuratore di potenza.
- Il principio della potenza virtuale.
- Potenza  versus Energia.
- Il principio di dissipazione.
- Il principio di invarianza ai cambiamenti di osservatore.

 

Hands-on sulla Meccanica dei Continui with COMSOL

Obiettivi: conoscere i concetti fondamentali della fisica-matematica che sono alla base dei modelli usati per descrivere
la meccanica dei continui e imparare a risolvere una selezione di problemi campione. Il corso è “hands-on”, ossia i
partecipanti dovranno imparare ad impostare e risolvere i problema tipici della meccanica dei fluidi e dei solidi, e
analizzare i risultati; in particolare, dovranno acquisire dimestichezza con i seguenti passi: fenomeno fisico -> modello
matematico -> problema specifico -> scrittura delle equazioni -> soluzione -> analisi risultati. L’implementazione e la
soluzione dei problemi sarà fatta utilizzando il software COMSOL.
Sommario delle Lezioni
1) Analizzare un modello non lineare di meccanica dei solidi, dall’implementazione alla soluzione.
Le equazioni fondamentali della meccanica dei continui: Cinematiche, Costitutive, Bilancio.
Confronto tra forma differenziale (secoli XVIII e XIX, detta “forma forte”) e forma integrale (secolo XX, detta forma
debole”).
Esempio risolto: solido iperelastico sottoposto a campo di forze.
2) Descizione Materiale e descrizione Spaziale
Il corpo continuo come varietà differenziabile.
Cosa sono i tensori e ocme si usano in meccanica
“Pull back” & “push forward” dei campi scalari, vettoriali e tensoriali.
Gli elementi geometrici e il cambio di densità
3) Meccanica dei solidi e meccanica dei fluidi: dove sono le differenze?
Vincoli cinematici, moti isocori
Tensione di riferimento (tensore di Piola) & Tensione effettiva (tensione di Cauchy).
Teorema di decomposizione polare; autospazio del tensore di deformazione e del tensore della tensione.
4) Meccanica dei solidi non lineare
Esempio risolto : solido iperelastico sottoposto a distorsioni; nozione di metrica “target’.
5) Risposta materiale
Esempio in esame: dall’energia elastica alla legge costitutiva per la tensione.
Materiali trasversalement isotropi. Materiali fibratis.
Esempio risolto: solido iperelastico fibrorinforzato sottoposto a trazione.
6) Dinamica dei fluidi
Le equazioni di Navier Stokes.
Esempio risolto: fluido viscoso in un canale; fluido attorno ad un ostacolo.
7) Interazioni solido-fluido: la teoria
Studio del problema: definizione e utilizzo del dominio mobile; scrittura del modello fisico-matematico per la
descrizione di un solido elastico immerso in un fluido.
8) Interazioni solido-fluido: la pratica
Esempio risolto: solido elastico immerso in un fluido.

Quantum complexity theory

Course on quantum complexity theory and its relationship with classical complexity theory. We
introduce quantum computing theory, in a simplified way accessible to students who may have
never seen quantum mechanics before. Among the numerous advances in theoretical computer
science during the 20th century, three of them delineated the field: first, that there are
unsolvable computational problems (Turing's proof that the stopping problem is undecidable,
derived from Gödel’s incompleteness theorem). Second, solvable problems that can be solved
efficiently are likely a subclass of decidable ones. This is a consequence of the Cook-Levin
theorem, which generated the theory of NP-completeness and founded the field of complexity
theory. Third, some problems are not only difficult to solve exactly, but are also difficult to
solve approximately (the PCP theorem in the 1990s). Quantum complexity theory introduces
new complexity classes and many new questions to investigate. We consider several
separation results (proved or conjectured) between complexity classes (involving, for example,
NP, BPP, BQP).

Topics on Fano varieties 2: fourfolds and beyond.

Abstract: We will survey some of the most recent progresses regarding the geography of Fano varieties of dimension 4 and higher, including, e.g, Kuechle's list, the 634 families of 4-folds constructed in flag varieties, and Fano varieties with special Hodge-theoretical properties (e.g. of K3 type)
 

GEOMETRIA DELLE CURVE CANONICHE E DEI LORO MODULI

Obiettivi
 Introduzione all' immersione canonica di una curva algebrica di genere g ed
alla sua geometria.
 Costruzione dell' immersione canonica per valori piccoli del genere.
 Studio di varieta notevoli che entrano in gioco nella costruzione, determi-
nando la geometria della curva immersa e le proprieta della sua Jacobiana.
 Studio della famiglia delle curve canoniche in genere piccolo.
Programma
 Sistemi lineari su curve: il sistema canonico.
 Curve canoniche, serie lineari e rigate razionali normali.
 Quadriche per la curva canonica: teoremi di Noether, Enriques, Kempf.
 Costruzioni di Mukai per curve canoniche di genere piccolo.
Prerequisiti e riferimenti
 Nozioni elementari sulle varieta algebriche.
 Come riferimento principale si utilizzera il testo: Algebraic Curves I,
di E. Arbarello, M. Cornalba, Ph. Griths, J. Harris.
Altre informazioni
 Il corso, della durata di circa 24 ore, si svolgera nelle settimane comprese
tra gennaio e febbraio 2023 con inizio il 9 gennaio. Orario programmato
per le le lezioni: luned e mercoled dalle 12 alle 13.30, senza intervallo.
 Modalita dell' esame nale: presentazione, di circa 50 minuti, di uno dei
temi presi in considerazione durante il corso, con discussione conclusiva.
 Variazioni di orario o approfondimenti particolari del programma potranno
eventualmente essere concordati con i partecipanti all' inizio del corso.
 Indirizzi di contatto con il docente:
sandro.verra@gmail.com , verra@mat.uniroma3.it
1

Problemi diofantei

Lo scopo di questo corso è lo studio di alcuni problemi diofantei con un accento sull’uso delle funzioni altezza come mezzo per dimostrare la finitezza delle soluzioni di alcune equazioni diofantee. Cominceremo con un’introduzione alle altezze e dimostreremo molte proprietà fondamentali. Dopodiché applicheremo questi concetti a un paio di classi di equazioni diofantee. Infine, useremo le altezze per studiare l’aritmetica dei sistemi dinamici polinomiali, in particolare il loro insieme dei punti preperiodici.
 

Teoria di Bridgeland e sue applicazioni

t-strutture e loro cuori.
Lo spazio delle condizioni di stabilità di Bridgeland su una varietà.
Condizioni di stabilità su una superficie K3.
Costruzione di condizioni di stabilità.
La struttura di muri e camere.
Stabilità di Bridgeland e stabilità di Gieseker.
Il muro di Brill-Noether e il muro  di Gieseker.
Il programma di Mukai per le K3-curve.
Divisori ampi sugli spazi di moduli di Bridgeland.
 

Compactifications of moduli spaces

Mathematical Quantum Mechanics

Abstract.
The first part of the course will present a rigorous analysis of solvable one-body problems in
non-relativistic quantum mechanics. More precisely, the spectral and dynamical features of the following
models will be examined: free motion in Rd, harmonic trap, hydrogen atom, zero-range potentials in
dimension d ? 3. The second part of the course will provide an introduction to mathematical scattering
theory. The time-dependent and time-independent approaches will be outlined, addressing the existence
and (asymptotic) completeness of wave operators. The definition of the scattering operator and its
connection to physical cross sections will be also discussed.

Prerequisites:
basic knowledge of Lebesgue theory and Lp spaces, Schwartz distributions and Sobolev
spaces, functional analysis and operators in Hilbert spaces.

Exam:
exposition and discussion of a research paper or textbook chapter.

Additional information:
borrowed from the course “FM450 - Aspetti Matematici della Meccanica
Quantistica” (Mathematical aspects of Quantum Mechanics) for the master degree in Mathematics.
Live streaming available (via Microsoft Teams). Whoever is interested in attending the course should
send an email to davide.fermi@polimi.it

Quasi-periodic dynamics and invariant tori: a geometric viewpoint

The dynamics of minimal translations on the torus give the simplest example of ergodic transformations. These so-called quasi-periodic dynamics (i.e. the super-position of finitely many oscillatory motions) are rich and show robustness properties in many dynamical systems of interest both in classical or statistical mechanics.
 
If the persistence, up to a small perturbation, of the fixed point of a diffeomorphism is generally obtained as a consequence of the classical implicit function theorem, this is not anymore the case for invariant manifolds of dimension greater than 0, which systematically persist only if they are “normally hyperbolic”, no matter what is the dynamics that they carry.  Of course, the question of persistence becomes far more delicate if one aims at controlling both the robustness of the manifold and the prescribed dynamics on it.
The study  of persistence and stability of invariant tori on which the dynamics is conjugated to a minimal translation, broadly goes under the name of “KAM theory” (after Kolmogorov, Arnold, and Moser). Starting from the 50’s, this theory unfolded in a wide spectrum of problems and conjectures, at the crossroads of geometry, symplectic topology and functional analysis.
In this course we shall give a more geometric and intrinsic viewpoint to quasi-periodic dynamics, their properties and the problem of their persistence. 


 

The ultraviolet problem for QED in d=3 ( MINI-COURSE)

Abstract: We review some recent work on quantum electrodynamics on a three dimensional Euclidean spacetime, work which culminates in a proof of ultraviolet stability in a finite volume. The model is formulated on a fine lattice and bounds are obtained uniformly in the lattice spacing. The method is a renormalization group technique due to Balaban. Topics to be covered are (1.) Introduction, (2.) Block averaging for gauge fields, (3.) Block averaging for Fermi fields, (4.) Random walk expansions, (5.) Norms and polymer functions, (6.) Renormalization group with bounded gauge fields, (7.)
Renormalization, (8.) The full expansion.

Program: mon-wed-fri from oct 3 to oct 14, 2022, 14:00 --> 15:30; aula M1, Lungotevere Dante 376 (access also from L.go S. L. Murialdo 1), Dip.to Matematica e Fisica, Univ. Roma Tre